2017年吉安中考數學試卷答案解析及word文字版下載（難度系數點評）

一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）
1．下列四個數中，最小的數是（）．
A．－12B．0C．－2D．2
【答案】　C.
【考點】　有理數大小比較．
【分析】　根據有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數進行比較即可．
【解答】　解：在－12，0，－2，2這四個數中，大小順序為：?2＜－12＜0＜2，所以最小的數是－12．故選C．
【點評】　本題主要考查了有理數的大小的比較，解題的關鍵是熟練掌握有理數大小比較的　法則，屬于基礎題．

2．某市６月份某周氣溫（單位：℃）為23，25，28，25，28，31，28，這給數據的眾數和中位數分別是（）．
A．25，25B．28，28C．25，28D．28，31
【答案】　B.
【考點】　眾數和中位數.
【分析】根據中位數的定義“將一組數據從小到大或從大到小排序，處于中間（數據個數為奇數時）的數或中間兩個數的均數（數據為偶數個時）就是這組數據的中位數”；眾數是指一組數據中出現次數最多的那個數。
【解答】這組數據中28出現4次，最多，所以眾數為28。由小到大排列為：23，25，25，28，28，28，31，所以中位數為28，選B。
【點評】　本題考查的是統計初步中的基本概念??中位數和眾數，要知道什么是中位數、眾數．

3．下列運算正確的是是（）．
A．a2+a3=a5B．(－2a2)3=－6a5　C．(2a+1)(2a-1)=2a2-1D．(2a3-a2)÷2a=2a-1
【答案】D.
【考點】代數式的運算。
【分析】本題考查了代數式的有關運算，涉及單項式的加法、除法、完全方公式、冪的運算性質中的同底數冪相除、積的乘方和冪的乘方等運算性質，正確掌握相關運算性質、法則是解題的前提．根據法則直接計算．
【解答】A選項中與不是同類項，不能相加（合并），與相乘才得；B是冪的乘方，冪的運算性質（積的乘方等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，冪的乘方（底數不變，指數相乘），結果應該-8；C是方差公式的應用，結果應該是；D.是多項式除以單項式，除以2a變成乘以它的倒數，約分后得2a-1。故選D。

4．直線y=x+1與y=－2x+a的交點在第一象限，則a的取值可以是（）．
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D.
【考點】兩條直線相交問題，一次函數圖像和性質、一元一次不等式組的解法，考生的直覺判斷能力．
【分析】解法一：一次函數y=kx+b，當k>0，b>0時，直線經過一、三、二象限，截距在y的正半軸上當；k>0，b<0時，圖解經過一、三、四象限，截距在y的負半軸上。當k<0，b>0時，直線經過二、四、一象限，截距在y的正半軸上；當k<0，b<0時，直線經過二、四、三象限，截距在y的負半軸上。可以根據一次函數圖象的特點，逐一代入a的值，畫出圖形進行判斷。
　　解法二：兩直線相交，說明由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組有解，解出關于x、y的二元一次方程組，然后根據交點在第一象限，橫坐標是正數，縱坐標是正數，列出不等式組求解即可．新課標第一網
【解答】解法一：直線y=x+1經過一、三、四象限，截距1，在y的正半軸；直線y＝－2x+a經過二、四象限，如果a=1，則經過第一象限，與前面直線交于y的正半軸上。若a=0，則y＝－2x+a是正比例函數，與前一直線交于第二象限；而a=-1，y＝－2x+a不經過第一象線，交點不可能在第一象限，所以正確答案是2。故選D。
解法二：
根據題意，兩直線有交點，得，解得
∵兩直線的交點在第一象限，∴，
解得a>1，故選D.

【點評】本題考查了兩直線相交的問題，第一象限內點的橫坐標是正數，縱坐標是正數，以及一元一次不等式組的解法，把a看作常數表示出x、y是解題的關鍵．

5．如圖，賢賢同學用手工紙制作一個臺燈燈罩，做好后發現上口太小了，于是他把紙燈罩對齊奢壓扁，剪去上面一截后，正好合適。以下裁剪示意圖中，正確的是（）．

【答案】A.
【考點】圖形與變換．
【分析】可用排除法，B、D兩選項肯定是錯誤的，正確答案為A.
【解答】答案為A。
6．已知反比例函數的圖像如右圖所示，則二次函數的圖像大致為（）．

【答案】D.
【考點】二次函數的圖象與性質；反比例函數的圖象與性質．
【分析】反比例函數的圖像作用是確定k的正負，從雙曲線在二、四象限可知k<0。要確定二次函數y=ax2+bx+c的圖像，一看開口方向(a>0或a<0)，二看對稱軸位置，三看在y軸上的截距（即c），四看與x軸的交點個數（根據根的判別式的正負來確定）。本題可先由反比例函數的圖象得到字母系數k＜－1，再與二次函數的圖象的開口方向和對稱軸的位置相比較看是否一致，最終得到答案．
【解答】解：∵函數的圖像的圖象經過二、四象限，
　　　　　　　∴k＜0，由圖知，當x=－1時，y=－k＞1，
∴k＜－1，
∴拋物線y=2kx2-4x+k2開口向下，
∵對稱軸為
∴對稱軸在－1與0之間，故選D．
【點評】本題主要考查了二次函數與反比例函數的圖象與系數的綜合應用，要求對二次函數和反比例函數的圖像和性質有比較深刻地理解，并能熟練地根據二次函數圖像中的信息作出分析和判斷，正確判斷拋物線開口方向和對稱軸位置是解題關鍵．屬于基礎題．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
7．計算：_______
【答案】3.
【考點】二次根式的性質與化簡，算術方根的概念．
【分析】9的方是±3，算術方是3。
【解答】答案為3。

8．據相關報道，截止到今年四月，我國已完成5.78萬個農村教學點的建設任務。5.78萬可用科學記數法表示為________。
【答案】5.78×104.
【考點】科學記數法?表示較大的數。
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解答】　解：將5.78萬用科學記數法表示為：5.78萬＝5.78×10000＝5.78×104．故答案為：5.78×104．
【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

9．不等式組的解集是________
【答案】x＞12。
【考點】解一元一次不等式組．
【分析】分別把兩個不等式解出來，再取它們解集的公共部分得到不等式組的解集。解一元一次不等式組的步驟：一是求出這個不等式組中各個不等式的解；二是利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即求出了這個不等式組的解集．
【解答】解：解不等式2x-1＞0，得x＞12，
解不等式－12(x＋2)＜0，得x＞－2，
所以原不等式組的解集為：x＞12。
【點評】要保證運算的準確度與速度，注意細節（不要搞錯符號），最后可畫出數軸表示出公共部分（不等式組的解集），注意空心點與實心點的區別．

10．若是方程的兩個實數根，則_______。
【答案】x＞12。
【考點】根的判別式，根與系數的關系，完全方公式，代數式求值．
根據一元二次方程根與系數的關系，若任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩根x1，x2，則x1+x2=－ba,x1•x2=ca,根據完全方化公式對化數進行變形，代入計算即可.
【解答】解：∵a、b是方程x2－2x－3＝0的兩根，
∴a+b=2，ab=－3，
a2＋b2=（a＋b）2--2ab＝22-2×(-3)=10.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：如果方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=－ba,x1•x2=ca.也考查了代數式的變形能力、整體的運用．

11．如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將三角形ABC沿著射線BC的方向移2個單位后，得到三角形△A′B′C′，連接A′C，則△A′B′C的周長為______。

【答案】12。
【考點】移的性質，等腰三角形的性質．
【分析】根據AB=4，BC=6，△ABC向左移了2個單位，得BB′=2，B′C＝4＝A′B′，又∠B=60°得∠A′B′C　=60°，所以△A′B′C是等邊三角形，故可得出A′C長是4，進而得出△A′B′C的周長，根據圖形移的性質即可得出結論．
【解答】解：∵△ABC移兩個單位得到△A′B′C′，AB＝4，BC＝6，
　　　　　　　∴BB′=2′，AB＝A′B′。
　　　　　　　　　　　　∵AB＝4，BC＝6，
　　　　　　　∴A′B′＝AB＝4，B′C　=BC-BB′＝6-2=4。
　　　　　　　∴A′B′＝　B′C　=4，即　△A′B′C是等腰三角形。
　　　　　　　　　　　　又∵∠B=60°，
　　　　　　　∴∠A′B′C　=60°，△A′B′C是等邊三角形。
　　　　　　　故△A′B′C的周長為：4×3＝12。
【點評】　本題考查的是移的性質，熟知圖形移后新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同是解答此題的關鍵．

12．如圖，△ABC內接于⊙O，AO=2，，則∠BAC的度數_______
　　　　　
【答案】60°.
【考點】垂徑定理，圓周角定理，三解函數關系．
【分析】連接OB，作OD⊥BC交BC于點D，根據OA=2，BC=2，得OB=2，BD=CD=2，利用三角函數關系，易得∠BOD=60°；OB＝OC，得角∠BOC＝120°，所以圓周角∠BAC＝∠BOC＝60°．
【解答】
解：∵連接OB、OC，過點O作OD⊥BC，交BC于點D。
∴OA＝2，
∵OB＝OC＝2。
∴OD⊥BC，BC＝2，
∴BD＝CD＝BC＝×=。
在Rt△BDC中，∵sin∠BOD==，
∴∠BOD=60°。
∵△BOC是等腰三角形，
∴∠BOC=2∠BOD＝2×60°＝120°，
∴∠BAC=×∠BOC＝×120°=60°
故∠BAC的度數是60°。

13．如圖，是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉90°，180°，270°后形成的圖形。若，AB=2，則圖中陰影部分的面積為______.
　　　　　　　　　　
【答案】12－4.
【考點】菱形的性質，勾股定理，旋轉的性質．
【分析】連接AC、BD，AO、BO，AC與BD交于點E，求出菱形對角線AC長，根據旋轉的性質可知AO⊥CO。在Rt△AOC中，根據勾股定理求出AO=CO=，從而求出Rt△AOC的面積，再減去△ACD的面積得陰影部分AOCD面積，一共有四個這樣的面積，乘以4即得解。
【解答】
解：連接BD、AC，相交于點E，連接AO、CO。
∵因為四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝2。
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，BD＝AB＝2，
∴∠BAE＝∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴AC＝2。
∵菱形ABCD以點O為中心按順時針方向旋轉90°，180°，270°，
∴∠AOC＝×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO
在Rt△AOC中，AO=CO=。
∵S△AOC=AO•CO=××=3，S△ADC=AC•DE＝×2×1＝,
∴S陰影＝S△AOC－S△ADC=4×（3－）＝12－4
所以圖中陰影部分的面積為12－4。

14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個銳角為60°，BC=6．若P在直線AC上（不與點A，C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長為_______.
【答案】4，2，6.
【考點】直角三角形性質，勾股定理，解直角三角形，分類討論．
【分析】根據題意畫出圖形，分三種情況進行討論，利用直角三角形的性質，解直角三角形或者用勾股定理進行解答．
【解答】
解：分四種情況討論：
①如圖1：當∠C=60°時，

當∠C=60°時，∠ABC=30°，P點在線段AC上，∠ABP不可能等于30°，只能是P點與C點重合，與條件相矛盾。

②如圖2：當∠C=60°時，∠ABC=30°，P點在線段CA的延長上。

∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C=30°，
∴AC＝BC＝×6＝3.
在△ABC和△ABP中，
∵∠ABP=∠ABC＝30°，AB＝AB，∠CAB=∠PAB＝90°
∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3，

③如圖3：當∠ABC=60°時，∠C=30°，P點在線段AC上。

∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C=30°，
∴AB＝BC＝×6＝3.　
∵∠ABP＝30°，
∴AP＝BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝60°－30°=30°＝∠C，
∴PC=PB，
∵在Rt△ABP中，，
∴，解得PB=2
∴PC＝PB＝2.

④如圖4：當∠ABC=60°時，∠C=30°，P點在線段CA的延長線上。

∵∠ABP=30°，∠ABC=60°，
∴△PBC是直角三形.
∵∠C=30°，
∴PB＝PC.
在Rt△PBC中，PC2－PB2＝BC2,
∵BC＝6，PB=PC,
∴PC2－(PC)2＝62，解得PC＝4。
綜上所述，CP的長為2、4和6。

三、（本大題共四小題，每小題6分，共24分）
15．計算÷.
【答案】x－1.
【考點】分式的混合運算．
【分析】首先計算括號里面的分式減法，同時把能進行因式分解的多項式因式分解，然后約分即可．
【解答】解：÷
=÷
=x－1

16．小錦和小麗購買了價格分別相同的中性筆和筆芯，小錦買了20支筆和2和盒筆芯，用了56元；小麗買了2支筆和3盒筆芯，僅用了28元。求每支中性筆和每盒筆芯的價格。
【答案】中性筆2元/支，筆芯8元/盒。
【考點】二元一次方程組的應用，準確找出數量之間的相等關系并能用代數式表示．
【分析】設每支中性筆的價格為x元，每盒筆芯的價格為y元，根據單價×數量=總價，建立方程組，求出其解即可．
【解答】
解：設每支中性筆的價格為x元，每盒筆芯的價格為y元，由題意，得

解得，
答：每支中性筆的價格為2元，每盒筆芯的價格為8元．

17．已知梯形ABCD，請使用無刻度直尺畫圖。
（1）在圖1中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；
（2）在圖2中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的行四邊形。

【答案】

【考點】尺規作圖，梯形的面積計算，三角形的面積計算，行四邊形面積的計算。
【分析】先根據梯形ABCD的上底、下底和高求出梯形的面積。以CD為邊，以梯形上下底之和為三角形的底，梯形的高為三角形的高作出三角形；以梯形的高為行四邊形的高，梯形的腰AB為行四邊形的一底邊，梯形上下底之和的一半為行四邊形的另一底邊作圖。
【解答】略.

18．有六張完全相同的卡片，分A、B兩組，每組三張，在A組的卡片上分別畫上“√、×、√”，B組的卡片上分別畫上“√、×、×”，如圖1所示。

（1）若將卡片無標記的一面朝上擺在桌上，再發布從兩組卡片中隨機各抽取一張，求兩張卡片上標記都是√的概率（請用樹形圖法或列表法求解）
（2）若把A、B兩組卡片無標記的一面對應粘貼在一起得到3張卡片，其正反面標記如圖2所示，將卡片正面朝上擺放在桌上，并用瓶蓋蓋住標記。
①若隨機揭開其中一個蓋子，看到的標記是√的概率是多少
②若揭開蓋子，看到的卡片正面標記是√后，猜想它的反面也是√，求猜對的概率。
【答案】（1）；（2）①，②.
【考點】概率問題，列表法與樹狀圖法．
【分析】根據題意，畫出樹形圖或列出表格，根據“概率＝．
（1）列表得出所有等可能的情況數，找出兩種卡片上標記都是“√”的情況數，即可求出所求的概率；
（2）①根據題意得到所有等可能情況有3種，其中看到的標記是“√”的情況有2種，即可求出所求概率；
②所有等可能的情況有2種，其中揭開蓋子，看到的卡片正面標記是“√”后，它的反面也是“√”的情況有1種，即可求出所求概率．
【解答】
（1）解法一：
根據題意，可畫出如下樹形圖：

從樹形圖可以看出，所有可能結果共有9種，且每種結果出現的可能性都相等，其中兩張卡片上標記都是“√”的結果有2種。
∴P（兩張都是“√”）＝.
解法二：
根據題意，可列表如下：

從上表中可以看出，所有可能結果共有9種，且每種結果出現的可能性都相等，其中兩張卡片上標記都是“√”的結果有2種。
（2）
①∵根據題意，三張卡片正面的標記有三種可能，分別為“√”、“×”、“√”，
∴隨機揭開其中一個蓋子，看到的標記是“√”的概率為.
②∵正面標記為為“√”的卡片，它的反面標記只有兩種情況，分別為“√”和“×”，
∴猜對反面也是“√”的概率為P＝.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
19．如圖，在面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，AB=5，點D在反比例函數（k>0）的圖象上，，點P在y軸負半軸上，OP=7.
（1）求點B的坐標和線段PB的長；
（2）當時，求反比例函數的解析式。
　
【答案】　B（0，3），PB＝10；反比例函數的解析式是.
【考點】　反比例函數與一次函數的交點問題．
【分析】
（1）根據勾股定理求出OB，即可得出答案；
（2）過點D作DM⊥y軸，垂足為M.設D的坐標是（4，y），證△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐標代入求出即可．
【解答】
解：（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：OB=3，即點B的坐標是（0，3）.
∵OP=7，
∴線段PB＝OB＋OP＝3＋7=10.
（2）過點D作DM⊥y軸于M，
∵∠PDB＝90°，
∴∠BDP＝∠DMB＝∠DMP＝90°
∴∠DBM＋∠BDM＝90°，∠BDM＋∠MDP＝90°
∴∠DBM＝∠MDP
∴△DBM∽△PDM
∴
∵OA＝4，DM⊥y軸，設D點的坐標為（4，y）(y＞0),
∴,
解得，即點D的坐標為（4，1）
把點D的坐標代入，得k=4，即反比例函數的解析式是.
【點評】　本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，用待定系數法求函數的解析式的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，題目比較典型，難度不大.

20．某教研機構為了解在校初中生閱讀數學教科書的現狀，隨機抽取某部分初中學生進行了調查。依據相關數據繪制成以下不完整的統計圖表，請根據圖表中的信息解答下列問題：

（1）求樣本容量及表格中a、b、c的值，并補全統計圖；
（2）若該校共有初中生2300名，請估計該校“不重視閱讀教科書”的初中生人數
（3）①根據上面的統計結果，談談你對該校初中生閱讀數學教科書的現狀的看法及建議；
②如果要了解全省初中生閱讀數學教科書的情況，你認為應該如何進行抽樣？
【答案】略.
【考點】頻數（率）分布直方圖；用樣本估計總體．
【分析】（1）利用類別為“一般”人數與所占百分比，進而得出樣本容量，進而得出a、b、c的值；
（2）利用“不重視閱讀數學教科書”在樣本中所占比例，進而估計全校在這一類別的人數；
（3）根據（1）中所求數據進而分析得出答案，再從樣本抽出的隨機性進而得出答案．
【解答】
解：（1）由題意可得出：
樣本容量為：57÷0.38=150（人），
∴a=150×0.3=45，
b=150-57-45-9=39，
c=39÷150=0.26.
如圖所示：

（2）若該校共有初中生2300名，該校“不重視閱讀數學教科書”的初中人數約為：2300×0.26=598（人）.
（3）①根據以上所求可得出：只有30%的學生重視閱讀數學教科書，有32%的學生不重視閱讀數學教科書或說不清楚，可以看出大部分學生忽略了閱讀數學教科書，同學們應重視閱讀數學教科書，從而獲取更多的數學課外知識和對相關題、定理的深層次理解與認識．
②如果要了解全省初中生閱讀數學教科書的情況，應隨機抽取不同的學校以及不同的年級進行抽樣，進而分析．
【點評】　此題主要考查了頻數分布直方表以及條形統計圖和利用樣本估計總體等知識，理論聯系實際進而結合抽樣調查的隨機性進而得出是解題關鍵．

21．圖1中的中國結掛件是由四個相同的菱形在頂點處依次串接而成，每相鄰兩個菱形均成30度的夾角，示意圖如圖2所示。在圖2中，每個菱形的邊長為10cm，銳角為60度。
（1）連接CD、EB，猜想它們的位置關系并加以證明；
（2）求A、B兩點之間的距離（結果取整數，可以使用計算器）
（參考數據：）
【考點】解直角三角形的應用；菱形的判定與性質．
【分析】（1）連接DE．根據菱形的性質和角的和差關系可得∠CDE=∠BED=90°，再根據行線的判定可得CD，EB的位置關系；
（2）根據菱形的性質可得BE，DE，再根據三角函數可得BD，AD，根據AB=BD+AD，即可求解．

【解答】
解：（1）CD∥EB．連接DE．
∵中國結掛件是四個相同的菱形，每相鄰兩個菱形均成30°的夾角，菱形的銳角為60°，
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，
∴∠CDE=∠BED，
∴CD∥EB．

（2）連接AD、BD.
∵∠ACD=90°，AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=45°。
同理可證，∠BDE=∠EBD=45°，∠CDE=90°，
∴∠ADB=∠ADB+∠BDE+∠CDE=180°，
即點A、D、B在同一直線上。
∵BE＝2OE＝2×10×cos30°＝10cm，
∴DE＝BE＝10cm，
在Rt△BED中，cm，
同理可得，AD=10cm，
∴AB=BD+AD=20=20×2.45≈49cm．即A、B兩點之間的距離大約為49cm．
【點評】　此題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質和行線的判定，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是運用數學知識解決實際問題．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
22．如圖1，AB是圓O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是圓O上半部分的一個動點，連接OP，CP。
（1）求△OPC的最大面積；
（2）求∠OCP的最大度數；
（3）如圖2，延長PO交圓O于點D，連接DB，當CP=DB，求證：CP是圓O的切線.

【考點】切線的判定與性質．
【分析】
（1）、（2）都是當PC相切與圓時，面積和∠OCP的度數最大，根據切線的性質即可求得．
（3）連接AP，BP通過△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，從而求得PC是⊙O的切線．
【解答】
解：（1）∵△OPC的邊長OC是定值。
∴當OP⊥OC時，OC邊長的高為最大值，此時△OPC的面積最大。
此時PC即為⊙O的切線，
∵AB=4，BC=2
∴OP=OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，
∴，
即△OPC的最大面積為4.

（2）當PC與⊙O相切即OP⊥PC時，∠OCP的度數最大.
在Rt△OPC，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∵，
∴∠OCP＝，即∠OCP的最大度數為30°.

（3）連接AP，BP，
∵∠AOP=∠DOB，
∴AP＝DB.
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C，
∵∠A=∠D，
∴∠C=∠D，
在△PDB與△OCP中，
∵OC＝PD＝4，∠C=∠D，PC＝BD，
∴△PDB≌△OPC（SAS），
∴∠OPC=∠PBD，
∵PD是直徑，
∴∠PBD=90°，
∴∠OPC＝90°，
∴OP⊥，PC，
又∵OP是圓⊙的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

23．如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A、B重合），點F在BC邊上（不與點B、C重合）。
第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；
第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點H；
依此操作下去…

（1）圖2中的三角形EFD是經過兩次操作后得到的，其形狀為____，求此時線段EF的長；
（2）若經過三次操作可得到四邊形EFGH。
①請判斷四邊形EFGH的形狀為______，此時AE與BF的數量關系是______。
②以①中的結論為前提，設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數關系式及面積y的取值范圍。
【考點】　正方形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；圖形與旋轉，勾股定理．
【分析】　（1）根據正方形的性質，證明旋轉后得到的兩個直角三角形全等，得出AE和FC相等，再用勾股定理列出方程即可；
（2）①根據旋轉的性質可判定四邊形EFGH是正方形，得出AE＝BF；②根據正方形的面積公式，找出AE長與正方形面積之間的等量關系式。
【解答】（1）等邊三角.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
∵ED=FD，
∴△ADE≌△CDF.(HL)
∴AE＝CF，BE＝BF.
∴BEF是等腰直角三角形。
設BE的長為x，則EF=x，AE=4-x.
∵在Ｒt△AED中，，DE=EF，
∴
解得，(不合題意，舍去).
∴EF＝x＝（－）＝－4＋4

（2）①四邊形EFGH為正方形；AE＝BF.
②∵AE＝x，
∴BE=4-x.
∵在Ｒt△BED中，，AE=BF，
∴
∵點E不與點A、B重合，點F不與點B、C重合，
∴0＜x＜4.
∵

，
∴當x=2時有最小值8，當x=0或4時，有最大值16，
∴y的取值范圍是8＜y＜16.
【點評】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用以及旋轉的性質，準確找出其中的等量關系并列出方程是解本題的關鍵．

24．如圖1，拋物線的頂點為M，直線y=m與x軸行，且與拋物線交于點A，B，若三角形AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高。

（1）拋物線對應的碟寬為____；拋物線對應的碟寬為_____；拋物線（a>0）對應的碟寬為____；拋物線對應的碟寬____；
（2）若拋物線對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線的對應準蝶形記為Fn（n=1,2,3，…），定義F1，F2，…..Fn為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比。若Fn與Fn-1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn-1的碟寬的中點，現在將（2）中求得的拋物線記為y1，其對應的準蝶形記為F1.
①求拋物線y2的表達式
②若F1的碟高為h1,F2的碟高為h2，…Fn的碟高為hn。則hn=_______,Fn的碟寬右端點橫坐標為_______；F1，F2，….Fn的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出改直線的表達式；若不是，請說明理由。
【答案】（1）4、、2a、2a；（2）13；（3）①；②、.
【考點】二次函數解析式與圖像性質，等腰直角三角形性質，探索規律.
【分析】（1）根據準碟形的定義易算出含具體值的拋物線y=12x2、拋物線y=4x2的碟寬，且都利用第一象限端點B的橫縱坐標的相等，類似推廣至含字母的拋物線y=ax2（a＞0）．而拋物線y=a(x-2)2+3（a＞0）為頂點式，可看成y=ax2向右、向上移得到，因而發現碟寬的規律，只與a有關，碟寬=2a．
亦可先根據畫出二次函數的大致圖像，根據題意并從圖像分析可知，其準碟形碟寬兩端點A、B和拋物線的頂點M圍成的△AMB是等腰直角三角形，進而知道A、B兩點的縱坐標和橫坐標絕對值相等，代入即可求出二次項系數a與碟寬之間的關系式，而y=a(x-2)2+3（a＞0）為頂點式，可看成y=ax2移得到，只與a有關。
（2）根據（1）中的結論，根據碟寬為6，列出方程2a=6，求出a的值．
（3）①把(2)中求出的a代入，得出y1的解析式，易推出y2．
②結合畫圖，易知，…，，都在直線x=2上，但證明需要有一般推廣，可以考慮∥，且都過Fn-1的碟寬中點，進而可得．另外，畫圖時易知碟寬有規律遞減，所以推理也可得右端點的特點．對于F1，F2，…，Fn的碟寬右端點是否在一條直線上，如果寫出所有端點規律不可能，找規律更難，所以可以考慮基礎的幾個圖形關系，如果相鄰3個點構成的兩條線段不共線，則結論不成立，反正結論成立．而最后一空的求直線表達式只需考慮特殊點即可．
【解答】解：（1）4、12、2a、2a.
∵a＞0，∴y=ax2的圖象大致如圖1，其必經過原點O.
記線段AB為其準蝶形碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC＝12∠AOB＝12×90°=45°，
即△AOC=△BOC亦為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．
∴，即A、B兩點x軸和y軸坐標絕對值相同．
代入，得方程，解得.
∴由圖像可知，A（－，），B（，），C（0，），
即AC=OC=BC＝，
∴AB=•2＝，
即的碟寬為AB＝.
∴①拋物線y=12x2對應的，得碟寬=4；
②拋物線y=4x2對應的a=4，得碟寬=；

③拋物線(a＞0)的碟寬為；
④拋物線y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右移2個單位長度，再向上移3個單位長度后得到的圖形，
∵移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x-2）2+3（a＞0）的準碟形≌拋物線y=ax2的準碟，
∵拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為，
∴拋物線y=a（x-2）2+3（a＞0），碟寬為.
（2）解法一：
∵y=ax2―4ax－53＝a(x－2)2－（4a＋53)
∴同（1）得其碟寬為2a，
∵y=ax2―4ax－53的碟寬為6，
∴2a=6，解得，a=13.
∴y＝13(x-2)2-3．

解法二：
∵可得，，
又已知碟寬在x軸上，
∴碟高＝＝62=3，解得a＝±13，
又∵a＞0，a＝－13不合題意舍去，∴a1＝13.

(3)①解法一：
∵F1的碟寬?F2的碟寬=2：1，
∴
∵
∴
∵的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F2的碟頂坐標為（2，0），
∴

解法二：
∵，a＝13，
∴，
即碟頂的坐標為（2，－3）.
∵的碟頂是的碟寬的中點，且的碟寬線段在x軸上，
∴的碟頂的坐標為（2,0），設，
∵與的相似比為，的碟寬為6，
∴的碟寬為6×＝3，即＝3，＝.
∴.

②∵的準碟形為等腰直角三角形，
∴的碟寬為2，
∵
∴.
∵=3，
∴•3.
∵∥，且都過的碟寬中點，
∴都在同一條直線上，
∵在直線x=2上，
∴都在直線x=2上，
∴的碟寬右端點橫坐標為2+•3.
F1，F2，…，Fn的的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=-x+5．

理由：
考慮Fn-2，Fn-1，Fn情形，關系如圖2，
Fn-2，Fn-1，Fn的碟寬分別為AB，DE，GH；
且C，F，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，
連接右端點，BE，EH．
∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH行相等于FE，DE行相等于CB，
∴四邊形GFEH、四邊形DCBE都是行四邊形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=12•∠GFH=12•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都過E點，
∴HE，EB在一條直線上，
∴的碟寬的右端點是在一條直線，
∴的碟寬的右端點是在一條直線．
根據②中得出的碟高和右邊端點公式，可知
準碟形右端點坐標為（5，0），
準碟形右端點坐標為，即(3.5，1.5)
∴待定系數可得過兩點的直線為y=－x+5，
∴F1，F2，…，Fn的碟寬的右端點是在直線y=-x+5上．
【點評】本題考查學生對新定義和新知識的學習、模仿和應用能力．題目中主要涉及特殊直角三角形，二次函數解析式與圖象性質，多點共線證明等知識，綜合難度較高，學生對題意要清晰的理解比較困難。

1、歸納法

用歸納法或分析法證明面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

2、幾何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。

幾何變換包括：(1)移;(2)旋轉;(3)對稱。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。