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黃岡市初中畢業生學業水考試

數學試題

(考試時間120分鐘)滿分120分

第Ⅰ卷(選擇題共18分)

一、選擇題(本題共6小題，每小題3分，共18分。每小題給出4個選項，有且只有一個答案是正確的)

1.-2的相反數是

A.2B.-2C.-D.

【考點】相反數.

【分析】只有符號不同的兩個數，我們就說其中一個是另一個的相反數;0的相反數是0。一般地，任意的一個有理數a，它的相反數是-a。a本身既可以是正數，也可以是負數，還可以是零。本題根據相反數的定義，可得答案.

【解答】解：因為2與-2是符號不同的兩個數

所以-2的相反數是2.

故選B.

2.下列運算結果正確的是

A.a2+a2=a2B.a2•a3=a6

C.a3÷a2=aD.(a2)3=a5

【考點】合并同類項、同底數冪的乘法與除法、冪的乘方。

【分析】根據同類項合并、同底數冪的乘法與除法、冪的乘方的運算法則計算即可.

【解答】解：A.根據同類項合并法則，a2+a2=2a2，故本選項錯誤;

B.根據同底數冪的乘法，a2•a3=a5，故本選項錯誤;

C.根據同底數冪的除法，a3÷a2=a，故本選項正確;

D.根據冪的乘方，(a2)3=a6，故本選項錯誤.

故選C.

3.如圖，直線a∥b，∠1=55°，則∠2=1

A.35°B.45°

C.55°D.65°

2

(第3題)

【考點】行線的性質、對頂角、鄰補角.

【分析】根據行線的性質：兩直線行同位角相等，得出∠1=∠3;再根據對頂角相等，得出∠2=∠3;從而得出∠1=∠2=55°.

【解答】解：如圖，∵a∥b，

∴∠1=∠3，

∵∠1=55°，

∴∠3=55°，

∴∠2=55°.

故選：C.

4.若方程3x2-4x-4=0的兩個實數根分別為x1,x2，則x1+x2=

A.-4B.3C.-D.

【考點】一元二次方程根與系數的關系.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=-，x1x2=，反過來也成立.

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系：兩根之和等于一次項系數除以二次項系數的商的相反數，可得出x1+x2的值.

【解答】解：根據題意，得x1+x2=-=.

故選：D.

5.如下左圖，是由四個大小相同的小正方體拼成的幾何體，則這個幾何體的左視圖是

從正面看ABCD

(第5題)

【考點】簡單組合體的三視圖.

【分析】根據“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”分析，找到從左面看所得到的圖形即可;注意所有的看到的棱都應表現在左視圖中.

【解答】解：從物體的左面看易得第一列有2層，第二列有1層.

故選B.

6.在函數y=中，自變量x的取值范圍是

A.x>0B.x≥-4C.x≥-4且x≠0D.x>0且≠-4

【考點】函數自變量的取值范圍.

【分析】求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件。根據分式分母不為0及二次根式有意義的條件，解答即可.

【解答】解：依題意，得

x+4≥0

x≠0

解得x≥-4且x≠0.

故選C.

第Ⅱ卷(非選擇題共102分)

二、填空題(每小題3分，共24分)

7.的算術方根是_______________.

【考點】算術方根.

【分析】根據算術方根的定義(如果一個正數x的方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術方根)解答即可.

【解答】解：∵=，

∴的算術方根是，

故答案為：.

8.分解因式：4ax2-ay2=_______________________.

【考點】因式分解(提公因式法、公式法分解因式).

【分析】先提取公因式a，然后再利用方差公式進行二次分解.

【解答】解：4ax2-ay2=a(4x2-y2)

=a(2x-y)(2x+y).

故答案為：a(2x-y)(2x+y).

9.計算：|1-|-=_____________________.

【考點】絕對值、方根，實數的運算.

【分析】比1大，所以絕對值符號內是負值;==2，將兩數相減即可得出答案.

【解答】解：|1-|-=-1-

=-1-2

=-1-

故答案為：-1-

10.計算(a-)÷的結果是______________________.

【考點】分式的混合運算.

【分析】將原式中的括號內的兩項通分，分子可化為完全方式，再將后式的分子分母掉換位置相乘，再約分即可。

【解答】解：(a-)÷=÷

=•

=a-b.

故答案為：a-b.

11.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=70°，AB=AC，則∠ABC=_______________.

【考點】圓心角、圓周角、等腰三角形的性質及判定.

【分析】根據同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半，可得出∠C=∠AOB=35°，再根據AB=AC，可得出∠ABC=∠C，從而得出答案.

【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，

∴∠C=∠AOB=35°(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半);

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=35°.

故答案為：35°.

12.需要對一批排球的質量是否符合標準進行檢測，其中質量超過標準的克數記為正數，不是標準的克數記為負數。現取8個排球，通過檢測所得數據如下(單位：克)：+1，-2，+1，0，+2，-3，0，+1，則這組數據的方差是___________.

【考點】方差.

【分析】計算出均數后，再根據方差的公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2](其中n是樣本容量，表示均數)計算方差即可.

【解答】解：數據：+1，-2，+1，0，+2，-3，0，+1的均數=(1-2+1+2-3+1)=0，

∴方差=(1+4+1+4+9+1)==2.5.

故答案為：2.5.

13.如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊CD，BC上，且DC=3DE=3a，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=_______.

AP(C)D

【考點】矩形的性質、圖形的變換(折疊)、30°度角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理.

【分析】根據折疊的性質，知EC=EP=2a=2DE;則∠DPE=30°，∠DEP=60°，得出∠PEF=∠CEF=(180°-60°)=60°，從而∠PFE=30°，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得出FP的長.

【解答】解：∵DC=3DE=3a，∴DE=a，EC=2a.

根據折疊的性質，EC=EP=2a;∠PEF=∠CEF，∠EPF=∠C=90°.

根據矩形的性質，∠D=90°，

在Rt△DPE中，EP=2DE=2a，∴∠DPE=30°，∠DEP=60°.

∴∠PEF=∠CEF=(180°-60°)=60°.

∴在Rt△EPF中，∠PFE=30°.

∴EF=2EP=4a

在Rt△EPF中，∠EPF=90°，EP=2a，EF=4a，

∴根據勾股定理，得FP==a.

故答案為：a

14.如圖，已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG，GI在同一條直線上，且AB=2，BC=1.連接AI，交FG于點Q，則QI=_____________.

ADFH

【考點】相似三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的性質.

【分析】過點A作AM⊥BC.根據等腰三角形的性質，得到MC=BC=，從而MI=MC+CE+EG+GI=.再根據勾股定理，計算出AM和AI的值;根據等腰三角形的性質得出角相等，從而證明AC∥GQ，則△IAC∽△IQG，故=，可計算出QI=.

ADFH

【解答】解：過點A作AM⊥BC.

根據等腰三角形的性質，得MC=BC=.

∴MI=MC+CE+EG+GI=.xkb1.com

在Rt△AMC中，AM2=AC2-MC2=22-()2=.

AI===4.

易證AC∥GQ，則△IAC∽△IQG

∴=

即=

∴QI=.

故答案為：.

三、解答題(共78分)

15.(滿分5分)解不等式≥3(x-1)-4

【考點】一元一次不等式的解法.

【分析】根據一元一次不等式的解法，先去分母，再去括號，移項、合并同類項，把x的系數化為1即可.

【解答】解：去分母，得x+1≥6(x-1)-8…………………………….2分

去括號，得x+1≥6x-14……………………………….3分

∴-5x≥-15x…………………………………………….4分

∴x≤3.………………………………………………….5分

16.(滿分6分)在紅城中學舉行的“我愛祖國”征文活動中，七年級和八年級共收到征文118篇，且七年級收到的征文篇數是八年級收到的征文篇數的一半還少2篇，求七年級收到的征文有多少篇?

【考點】運用一元一次方程解決實際問題.

【分析】根據“七年級收到的征文篇數是八年級收到的征文篇數的一半還少2篇”設八年級收到的征文有x篇，則七年級收到的征文有(x-2)篇;根據“七年級和八年級共收到征文118篇”列方程，解出方程即可.

【解答】解：設八年級收到的征文有x篇，則七年級收到的征文有(x-2)篇，依題意知

(x-2)+x=118.…………………………………………….3分

解得x=80.………………………………………………4分

則118-80=38.……………………………………………5分

答：七年級收到的征文有38篇.…………………………6分

17.(滿分7分)如圖，在ABCD中，E，F分別為邊AD，BC的中點，對角線AC分別交BE，DF于點G，H.

求證：AG=CH

AED

(第17題)

【考點】行四邊形的判定和性質、三角形全等的判定和性質.

【分析】要證明邊相等，考慮運用三角形全等來證明。根據E，F分別是AD，BC的中點，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC;運用“一組對邊行且相等的四邊形是行四邊形”證明四邊形BEDF是行四邊形，從而得到∠BED=∠DFB，再運用等角的補角相等得到∠AEG=∠DFC;最后運用ASA證明△AGE≌△CHF，從而證得AG=CH.

【解答】證明：∵E，F分別是AD，BC的中點，

∴AE=DE=AD，CF=BF=BC.………………………………….1分

又∵AD∥BC，且AD=BC.

∴DE∥BF，且DE=BF.

∴四邊形BEDF是行四邊形.

∴∠BED=∠DFB.

∴∠AEG=∠DFC.………………………………………………5分

又∵AD∥BC，∴∠EAG=∠FCH.

在△AGE和△CHF中

∠AEG=∠DFC

AE=CF

∠EAG=∠FCH

∴△AGE≌△CHF.

∴AG=CH

18.(滿分6分)小明、小林是三河中學九年級的同班同學。在四月份舉行的自主招生考試中，他倆都被同一所高中提前錄取，并被編入A，B，C三個班，他倆希望能兩次成為同班同學。

(1)請你用畫樹狀圖法或列舉法，列出所有可能的結果;

(2)求兩人兩次成為同班同學的概率。

【考點】列舉法與樹狀圖法，概率.

【分析】(1)利用畫樹狀圖法或列舉法列出所有可能的結果，注意不重不漏的表示出所有結果;

(2)由(1)知，兩人分到同一個班的可能情形有AA，BB，CC三種，除以總的情況(9種)即可求出兩人兩次成為同班同學的概率.

【解答】解：(1)小明ABC

小林ABCABCABC

………………………………………………………3分

(2)其中兩人分到同一個班的可能情形有AA，BB，CC三種

∴P==.………………………………………………………6分

19.(滿分8分)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C.過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC.求證：

(1)∠PBC=∠CBD;

(2)BC2=AB•BDD

C

PAOB

(第19題)

【考點】切線的性質，相似三角形的判定和性質.

【分析】(1)連接OC，運用切線的性質，可得出∠OCD=90°，從而證明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根據半徑相等得出∠OCB=∠PBC，等量代換得到∠PBC=∠CBD.

(2)連接AC.要得到BC2=AB•BD，需證明△ABC∽△CBD，故從證明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.

【解答】證明：(1)連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°.……………………………………………1分

又∵BD⊥PC

∴∠BDP=90°

∴OC∥BD.

∴∠CBD=∠OCB.

∴OB=OC.

∴∠OCB=∠PBC.

∴∠PBC=∠CBD.………………………………………..4分

PAOB

(2)連接AC.

∵AB是直徑，

∴∠BDP=90°.

又∵∠BDC=90°，

∴∠ACB=∠BDC.

∵∠PBC=∠CBD,

∴△ABC∽△CBD.……………………………………6分

∴=.

∴BC2=AB•BD.………………………….……………8分

20.(滿分8分)望江中學為了了解學生均每天“誦讀經典”的時間，在全校范圍內隨機抽查了部分學生進行調查統計，并將調查統計的結果分為：每天誦讀時間t≤20分鐘的學生記為A類，20分鐘60分鐘的學生記為D類四種，將收集的數據繪制成如下兩幅不完整的統計圖。請根據圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)m=__________%,n=________%，這次共抽查了_______名學生進行調查統計;

(2)請補全上面的條形圖;

(3)如果該校共有1200名學生，請你估計該校C類學生約有多少人?

【考點】條形統計圖，扇形統計圖，用樣本估計總體.

【分析】(1)根據B類的人數和百分比即可得到這次共抽查的學生總人數，進而可求出m、n的值;

(2)根據(1)的結果在條形圖中補全統計圖即可;

(3)用1200乘以C類學生所占的百分比即可C類學生人數.

【解答】解：(1)20÷40%=50(人)，

13÷50=26%，∴m=26%;

∴7÷50=14%，∴n=14%;

故空中依次填寫26，14，50;……………………3分

(2)補圖;………………………………………………….5分

(3)1200×20%=240(人).

答：該校C類學生約有240人.…………………………..……6分

21.(滿分8分)如圖，已知點A(1,a)是反比例函數y=-的圖像上一點，直線y=-x+與反比例函數y=-的圖像在第四象限的交點為B.

(1)求直線AB的解析式;

(2)動點P(x,o)在x軸的正半軸上運動，當線段PA與線段PB之差達到最大時，求點P的坐標.

【考點】反比例函數，一次函數，最值問題.

【分析】(1)因為點A(1,a)是反比例函數y=-的圖像上一點，把A(1,a)代入y=-中，求出a的值，即得點A的坐標;又因為直線y=-x+與反比例函數y=-的圖像在第四象限的交點為B，可求出點B的坐標;設直線AB的解析式為y=kx+b，將A，B的坐標代入即可求出直線AB的解析式;

(2)當兩點位于直線的同側時，直接連接兩點并延長與直線相交，則兩線段的差的絕對值最大。連接A，B，并延長與x軸交于點P，即當P為直線AB與x軸的交點時，|PA-PB|最大.

【解答】解：(1)把A(1,a)代入y=-中，得a=-3.…………………1分

∴A(1,-3).…………………………………………………..2分

又∵B，D是y=-x+與y=-的兩個交點，…………3分

∴B(3,-1).………………………………………………….4分

設直線AB的解析式為y=kx+b,

由A(1,-3)，B(3,-1)，解得k=1，b=-4.…………….5分

∴直線AB的解析式為y=x-4.……………………………..6分

(2)當P為直線AB與x軸的交點時，|PA-PB|最大………7分

由y=0,得x=4,

∴P(4,0).……………………………………………………….8分

22.(滿分8分)“一號龍卷風”給小島O造成了較大的破壞，救災部門迅速組織力量，從倉儲處調集物資，計劃先用汽車運到與D在同一直線上的C，B，A三個碼頭中的一處，再用貨船運到小島O.已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km.若汽車行駛的速度為50km/時，貨船航行的速度為25km/時，問這批物資在哪個碼頭裝船，最早運抵小島O?(在物資搬運能力上每個碼頭工作效率相同;參考數據：≈1.4;≈1.7)

(第22題)

【考點】解直角三角形的應用.

【分析】要知道這批物資在哪個碼頭裝船最早運抵小島O，則需分別計算出從C，B，A三個碼頭到小島O所需的時間，再比較，用時最少的最早運抵小島O.題目中已知了速度，則需要求出CO，CB、BO，BA、AO的長度.

【解答】解：∵∠OCA=30°，∠D=15°，∴∠DOC=15°.

∴CO=CD=20km.……………………………………………….1分

在Rt△OAC中，∵∠OCA=30°，

∴OA=10，AC=10.

在Rt△OAB中，∵∠OBA=45°，

∴OA=AB=10，OB=10.

∴BC=AC-AB=10-10.………………………………..4分

①從CO所需時間為：20÷25=0.8;……………..……..5分

②從CBO所需時間為：

(10-10)÷50+10÷25≈0.62;…………..6分

③從CAO所需時間為：

10÷50+10÷25≈0.74;…………………………..7分

∵0.62<0.74<0.8，

∴選擇從B碼頭上船用時最少.………………………………8分

(所需時間若同時加上DC段耗時0.4小時，亦可)

23.(滿分10分)東坡商貿公司購進某種水果的成本為20元/kg，經過市場調研發現，這種水果在未來48天的銷售單價p(元/kg)與時間t(天)之間的函數關系式為

t+30(1≤t≤24，t為整數)，

P=

-t+48(25≤t≤48，t為整數)，且其日銷售量y(kg)與時間t(天)的關系如下表：

時間t(天)136102030…

日銷售量y(kg)1181141081008040…

(1)已知y與t之間的變化規律符合一次函數關系，試求在第30天的日銷售量是多少?

(2)問哪一天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?

(3)在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤(n<9)給“精準扶貧”對象。現發現：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍。

【考點】一次函數的應用、二次函數的圖像及性質、一元一次不等式的應用.

【分析】(1)根據日銷售量y(kg)與時間t(天)的關系表，設y=kt+b，將表中對應數值代入即可求出k，b，從而求出一次函數關系式，再將t=30代入所求的一次函數關系式中，即可求出第30天的日銷售量.

(2)日銷售利潤=日銷售量×(銷售單價-成本);分1≤t≤24和25≤t≤48兩種情況，按照題目中所給出的銷售單價p(元/kg)與時間t(天)之間的函數關系式分別得出銷售利潤的關系式，再運用二次函數的圖像及性質即可得出結果.

(3)根據題意列出日銷售利潤W=(t+30-20-n)(120-2t)=-t2+2(n+5)t+1200-n，此二次函數的對稱軸為y=2n+10，要使W隨t的增大而增大，2n+10≥24，即可得出n的取值范圍.

【解答】解：(1)依題意，設y=kt+b，

將(10，100)，(20，80)代入y=kt+b，

100=10k+b

80=20k+b

解得k=-2

b=120

∴日銷售量y(kg)與時間t(天)的關系y=120-2t，………2分

當t=30時，y=120-60=60.

答：在第30天的日銷售量為60千克.…………….………..3分

(2)設日銷售利潤為W元，則W=(p-20)y.

當1≤t≤24時，W=(t+30-20)(120-t)=-t2+10t+1200

=-(t-10)2+1250

當t=10時，W最大=1250.……………………………….….….5分

當25≤t≤48時，W=(-t+48-20)(120-2t)=t2-116t+5760

=(t-58)2-4

由二次函數的圖像及性質知：

當t=25時，W最大=1085.…………………………...………….6分

∵1250>1085，

∴在第10天的銷售利潤最大，最大利潤為1250元.………7分

(3)依題意，得

W=(t+30-20-n)(120-2t)=-t2+2(n+5)t+1200-n………………8分

其對稱軸為y=2n+10，要使W隨t的增大而增大

由二次函數的圖像及性質知：

2n+10≥24，

解得n≥7.……………………………………………………..9分

又∵n<0,

∴7≤n<9.…………………………………………………….10分

24.(滿分14分)如圖，拋物線y=-x2+x+2與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點.設點P的坐標為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.

(1)求點A，點B，點C的坐標;

(2)求直線BD的解析式;

(3)當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是行四邊形;

(4)在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)將x=0，y=0分別代入y=-x2+x+2=2中，即可得出點A，點B，點C的坐標;

(2)因為點D與點C關于x軸對稱，所以D(0,-2);設直線BD為y=kx-2,把B(4,0)代入，可得k的值，從而求出BD的解析式.

(3)因為P(m,0)，則可知M在直線BD上，根據(2)可知點Mr坐標為M(m,m-2)，因這點Q在y=-x2+x+2上，可得到點Q的坐標為Q(-m2+m+2).要使四邊形CQMD為行四邊形，則QM=CD=4.當P在線段OB上運動時，QM=(-m2+m+2)-(m-2)=-m2+m+4=4,解之可得m的值.

(4)△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，但不知直角頂點，因此需要情況討論：當以點B為直角頂點時，則有DQ2=BQ2+BD2.;當以D點為直角頂點時，則有DQ2=DQ2+BD2.分別解方程即可得到結果.

【解答】解：(1)當x=0時，y=-x2+x+2=2,

∴C(0，2).…………………………………………………….1分

當y=0時，-x2+x+2=0

解得x1=-1，x2=4.

∴A(-1,0)，B(4,0).………………………………………………3分

(2)∵點D與點C關于x軸對稱，

∴D(0,-2).……………………………………………………….4分

設直線BD為y=kx-2,

把B(4,0)代入，得0=4k-2

∴k=.

∴BD的解析式為：y=x-2.………………………………………6分

(3)∵P(m,0),

∴M(m,m-2)，Q(-m2+m+2)

若四邊形CQMD為行四邊形，∵QM∥CD，∴QM=CD=4

當P在線段OB上運動時，

QM=(-m2+m+2)-(m-2)=-m2+m+4=4,………………….8分

解得m=0(不合題意，舍去)，m=2.

∴m=2.………………………………………………………………10分

(4)設點Q的坐標為(m,-m2+m+2)，

BQ2=(m-4)2+(-m2+m+2)2,

BQ2=m2+[(-m2+m+2)+2]2,BD2=20.

①當以點B為直角頂點時，則有DQ2=BQ2+BD2.

∴m2+[(-m2+m+2)+2]2=(m-4)2+(-m2+m+2)2+20

解得m1=3，m2=4.

∴點Q的坐標為(4,0)(舍去)，(3，2).…………………..11分

②當以D點為直角頂點時，則有DQ2=DQ2+BD2.

∴(m-4)2+(-m2+m+2)2=m2+[(-m2+m+2)+2]2+20

解得m1=-1，m2=8.

∴點Q的坐標為(-1,0)，(8，-18).

即所求點Q的坐標為(3，2)，(-1,0)，(8，-18).……………14分

注：本題考查知識點較多，綜合性較強，主要考查了二次函數的綜合運用，涉及待定系數法，行四邊形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，解一元二次方程，一次函數，對稱，動點問題等知識點。在(4)中要注意分類討論的應用。